wirst Du dafür den Dank nicht zwar des grossen Publikums (worunter auch mancher gehört der für einen geschickten Math. gehalten wird) einerndten, denn ich überzeuge mich immer mehr, dass die Zahl wahrer Geometer äusserst gering ist und die meisten die Schwierigkeiten bei solchen Arbeiten weder beurtheilen noch selbst einmal sie verstehen können aber gewiss den Dank aller derer deren Urtheil Dir allein wirklich schätzbar sein kann.

GAUSS an W. Bolyai.

Helmstedt, 16. XII. 1799.

s. „Briefw. zw. C. F. Gauss u. W. Bolyai“, herausg. v. Schmidt u. Stäckel (1899), p. 36/37.

In der Theorie der Parallellinien sind wir jetzt noch nicht weiter als Euklides war. Das ist die partie honteuse der Mathematik, die früher oder später eine ganz andere Gestalt bekommen muss. C. F. GAUSS.

„Ideen" (Nachlass), 27. IV. 1813.

s. Gauss, Werke, Bd. 8 (1900), p. 166.

Es wird wenige Gegenstände im Gebiete der Mathematik geben, über welche so viel geschrieben wäre, wie über die Lücke im Anfange der Geometrie bei Begründung der Theorie der Parallel-Linien. Selten vergeht ein Jahr, wo nicht irgend ein neuer Versuch zum Vorschein käme, diese Lücke auszufüllen, ohne dass wir doch, wenn wir ehrlich und offen reden wollen, sagen könnten, dass wir im Wesentlichen irgend weiter gekommen wären, als Euklides vor 2000 Jahren war. Ein solches aufrichtiges und unumwundenes Geständniss scheint uns der Würde der Wissenschaft angemessener, als das eitele Bemühen, die Lücke, die man nicht ausfüllen kann, durch ein unhaltbares Gewebe von Scheinbeweisen zu verbergen.

Ich freue mich, dass Sie den Mut haben, Sich so auszudrücken, als wenn Sie die Möglichkeit, dass unsere Parallelentheorie, mithin unsere ganze Geometrie, falsch wäre, anerkennten. Aber die Wespen, deren Nest Sie aufstören, werden Ihnen um den Kopf fliegen.

GAUSS an Gerling.

Göttingen, 25. VIII. 1818.

s. Gauss, Werke, Bd. 8 (1900), p. 179.

Meine Überzeugung, dass wir die Geometrie nicht vollständig a priori begründen können, ist womöglich noch fester geworden. Inzwischen werde ich wohl noch lange nicht dazu kommen, meine sehr ausgedehnten Untersuchungen darüber zur öffentlichen Bekanntmachung auszuarbeiten, und vielleicht wird diess auch bei meinen Lebzeiten nie geschehen, da ich das Geschrei der Boeoter scheue, wenn ich meine Ansicht ganz aussprechen wollte.

GAUSS an Bessel.
Göttingen, 27. I. 1829.

Ich würde sehr beklagen, wenn Sie Sich „,durch das Geschrei der Boeoter" abhalten liessen, Ihre geometrischen Ansichten aus einander zu setzen.

BESSEL an Gauss.

Königsberg, 10. II. 1829.

s. Gauss, Werke, Bd. 8 (1900), p. 201 = Briefw. Gauss-Bessel (1880), p. 490 u. 493.

aus Göttingen schrieb [nach Empfang der „Appendix" von Joh. Bolyai] der Mathematische Riese, welcher aus erhabenen Thürmen, von den Sternen bis auf die tiefe Gründe mit gleichem Auge sieht; dass er überrascht war, gethan zu sehen, was er begonnen hat, um es unter seinen Papieren zu hinterlassen.

W. BOLYAI.

Kurzer Grundriss eines Versuchs".. (Maros Vásárhely 1851), p. 44.

Wenn die Autorität von Gauss dahin gewirkt hat, die letzten logischen Grundlagen der Mathematik in der angegebenen Weise [nichteuklidische Geometrie] und auch bezüglich des Imaginären in einem mystischen Licht erscheinen zu lassen, so ist diese Thatsache aus der mit dem religiösen Aberglauben der Person gegatteten Beschränktheit ihres allgemeineren Denkens zu erklären.

EUGEN DÜHRING.

,,Kritische Gesch. der allgem. Principien der Mechanik," 2. umgearb. Aufl. (1877), p. 461.

Helmholtz fing an die a priorische Existenz der [geometrischen] Axiome in Zweifel zu ziehen und zwar nicht auf Grund abstracter mathematischer Betrachtungen, wie es zum Theil von Gauss und Riemann geschehen, sondern physiologisch-optische Untersuchungen hatten ihn veranlasst, über den Ursprung der allgemeinen Raumanschauung überhaupt nachzudenken, und sehr bald zur Überzeugung geführt, dass nur die Anschaulichkeit der Raumverhältnisse uns das als selbstverständlich voraussetzen lässt, was in Wahrheit eine besondere Eigenthümlichkeit unserer Aussenwelt ist, und wir dadurch die Axiome der Geometrie für durch transcendentale Anschauung gegebene Sätze halten.

LEO KÖNIGSBERGER.

„Hermann von Helmholtz's Untersuchungen über die Grundlagen der Mathematik und Mechanik" (Leipzig 1896), p. 4.

Die Quelle der vollkommen irrigen, in der Bolyaischen Theorie zum Ausdruck gebrachten geometrischen Anschauung scheint mir der unglückselige Satz zu sein, dass zwei parallele Linien sich im Unendlichen schneiden". Aus diesem Satze, den wohl auch diejenigen Mathematiker, denen er später in Fleisch und Blut übergegangen ist, bei seinem ersten Entgegentreten eben nur hinuntergewürgt haben, fliesst der Begriff

,,des unendlich fernen Punktes einer Geraden." Dieser Begriff ist in sich widersprechend, denn die Existenz einzelner unendlich ferner Punkte ist mit dem Begriff der Unendlichkeit nicht verträglich.

Nun ist aber der ganze eben erwähnte Satz einfach unwahr. Zwei parallele Linien schneiden sich nie und nirgends, sie haben einen constanten Abstand, der, wie weit man auch geht, sich nicht vermindert und folglich auch „im Unendlichen" nicht gleich Null ist.

F. PIETZKER.

Besprechung von Frischauf,,,Absolute Geometrie" (1876),
Zeitschr. math. naturw. Unterr. 7 (1876), p. 470/471.

Eine missverständliche Auffassung der älteren Untersuchungen hat eine Polemik gegen dieselben hervorgerufen, die gegen Windmühlenflügel zu kämpfen scheint, umsomehr, wenn sich die Diskussion, freilich nicht ohne Schuld hervorragender Forscher, in das philosophische Gebiet verliert, das von jeher der Tummelplatz verschiedener Meinungen gewesen ist und immer bleiben wird.

F. SCHUR.

,,Die Parallelenfrage im Lichte der modernen Geometrie", Paedag. Archiv 34 (1892), p. 546.

1. Es giebt nur einen einzigen Raum, in welchem alle Menschen leben und denken, und in welchem eine Klasse von Mathematikern nach eigenem Geschmack und eigener Willkür ihre besonderen Räume construirt hat und construirt.

2. Diejenigen Mathematiker, welche einen Raum durch reine Zahlen construiren, gleichen denjenigen Menschen, welche ihr Millionenvermögen im Traume construiren.

3. Diejenigen Geometer, welche die Definition der Parallelengeraden, das fünfte Postulat und den daraus folgenden Satz der Winkelsumme im geradlinigen Dreiecke fallen

lassen und synthetisch eine ebene Geometrie construiren wollen, die entsprechen genau, kann man sagen, denjenigen Arithmetikern, welche das Axiom der Gleichheit fallen lassen und ihre algebraischen Probleme nicht durch Gleichungen, sondern durch Ungleichungen auflösen wollen.

A. KARAGIANNIDES.

„Die Nichteuklidische Geometrie vom Alterthum bis zur Gegenwart" (Berlin 1893), p. 43/44.

Von Seite des k. k. Unterrichtsministeriums wurden mir die Vorlesungen des Wintersemesters 1871/2 „Pangeometrie und Projectivität" als zu schwierig beanstandet - trotz der an unseren Universitäten doch herrschenden Lehr- und Lernfreiheit. Selbstverständlich hatte ich diese auf einer schon unglaublichen Ignoranz beruhende Beanständigung in gebührender Weise zurückgewiesen. Der betreffende Herr Referent kann sich nun hinsichtlich der in dieser Schrift gegebenen Pangeometrie von der Richtigkeit meiner damaligen Entgegnung überzeugen.

J. FRISCHAUF.

,,Absolute Geometrie nach Johann Bolyai" (Leipzig 1872), p. VII, Anm.

Für speculative Betrachtungen war Schröter nicht geschaffen. Wie er unklare Empfindungen im Leben von sich wies, so verhielt er in der Wissenschaft sich ablehnend gegen Theorien, die sich der Anschauung entziehen [nichteuklidische und mehrdimensionale Geometrie].

R. STURM.

,,Heinrich Schröter", Deutsche Mathem.-Verein. Jahresber. 2, 1891/1892, p. 37.

Wenn die gelehrte, unfruchtbare Theorie sich zu kühnem Fluge erhebt, da fliegt sie der wirklichen Welt aus den Augen, hinauf über die Wolken zu Abel und Riemann, wo die Theta-Funktionen verschwinden, wo der „spezielle" Begriff